تعتبر المعادلات الخطية واحدة من الأسس الأساسية في علم الرياضيات، حيث تتمحور فكرة حل نظام من معادلتين خطيتين حول إيجاد قيم المتغيرات،على سبيل المثال، عندما نتعامل مع المعادلة س + 3 = 9، يتطلب الأمر إيجاد قيمة المتغير (س) باستخدام أساليب رياضية أو بيانية،بالتحليل لتلك المعادلة، يمكننا أن نستنتج الخطوات اللازمة لحلها من خلال عكس الإشارة، فنصل إلى س = 9 – 3، مما يعني أن س = 6،هذه هي الطريقة الأساسية لحل المعادلات ذات المتغير الواحد،ولكن عند التطرق إلى معادلتين، يمكن القول إن هناك تعقيداً إضافياً في الأمر.
في موضوعنا الحالي، نرغب في التوسع في كيفية حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا،إذا كانت لدينا معادلة مثل س + ص = 20، عندها نحتاج إلى وجود معادلة أخرى لنستطيع الربط بين المتغيرين وتشكيل نظام من المعادلات، مثل س + ص = جـ،وهنا يقصد بالنظام أنه مجموعة من المعادلتين يتم حلها معًا لإيجاد قيم المتغيرات.
حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا
كما تمت الإشارة إليه سابقًا، فإذا كانت المعادلة تتضمن متغيرًا واحدًا، فهي تعتبر بسيطة،لكن عند وجود متغيرين كحال المعادلة س + ص = 20، نحتاج إلى تقديم معادلة إضافية لنتمكن من جمعهما معاً،بهذا الأسلوب، نتعامل مع النظام ككل.
عندما نقول نظام، فإننا نعني معادلتين يتم إيجاد حل لهما في نفس الوقت، مما يعني إيجاد قيمتي “س” و “ص”، وهذا ما يعتمد عليه حل نظام من معادلتين خطيتين باستخدام الرسم البياني،وبهذا الشكل، فإن الخطوة التالية تكون تحديد كيفيات حل هذا النظام.
يمكنك أيضًا الاضطلاع على
طريقة بالمثال لحل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا
كمثال توضيحي، لدينا نظام معادلتين كالتالي
ص = م1 س + ب1
ص = م2 س + ب2
هنا، فإن الحلول الممكنة لحل هذا النظام البياني تتضمن ثلاثة أنواع
- حل وحيد
- عدد لا نهائي من الحلول
- مستحيل الحل
عندما يكون للنظام حل وحيد، يتم تمثيله كزوج مرتب (س، ص) له إحداثي على محور الصادات ومحور السينات.
يمكنك أيضًا الاضطلاع على
أنواع الأنظمة
تستند الأنظمة التي قدمناها سابقًا على أساس الحلول، وهي كالتالي
- نظام متسق يتميز هذا النظام بوجود حل، سواء كان الحل وحيدًا أو عدد لانهائي من الحلول.
- نظام غير متسق هو النظام الذي لا يحتوي على أي حل.
بالتالي، تعني كلمة متسق دلالة خاصة تشير إلى إمكانية وجود الحلول، في حين أن النظام المتسق له أنواع عديدة
- مستقل هذا النظام المتسق الذي له حل وحيد، يُسمى (نظام متسق ومستقل).
- غير مستقل هو النظام المتسق الذي يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول، ويُسمى (نظام متسق وغير مستقل).
يمكن أن يُعبر عن النظام وفقًا للتمثيل البياني أيضًا
- إذا تقاطع المستقيمان في نقطة واحدة، فهذا يعني أن هناك حلًا وحيدًا، وبالتالي، يُسمى النظام (متسق مستقل).
- إذا تطابق المستقيمان فوق بعضهم، فهذا يعني وجود عدد لانهائي من النقاط، وبذلك يُطلق عليه (متسق غير مستقل).
- إذا كان المستقيمان متوازيان، فلا يوجد تقاطع، مما يعني أن هذا النظام مستحيل الحل، والذي يسمى (غير متسق).
يمكن تحديد نوع النظام دون الحاجة للرسم من خلال الميل
- إذا كان ميل المستقيم الأول لا يساوي ميل المستقيم الثاني، فهذا يشير إلى أن النظام (متسق مستقل).
- إذا تساوى الميل في المستقيمين وجزء المقطع في المستقيمين، فإن النظام هنا يعتبر (متسق وغير مستقل).
- إذا تساوى الميل ولكن الجزء المقطوع لا يتساوى بين المستقيمين، فهذا يعكس وجود نظام (غير متسق).
يمكنك أيضًا الاضطلاع على
مثال محلول على النظام
لتأكيد المعلومات، نقدم مثالًا عمليًا لتطبيق تلك المفاهيم
المعادلة الأولى
ص = -2س + 3
ص = س – 5
طريقة الحل
الخطوة الأولى تتضمن تحديد المستقيمان في الرسم البياني، ثم ملاحظة كيف يتفاعلان،نجد أن المستقيمان يتقاطعان في نقطة واحدة، مما يؤكد أن النظام متسق ومستقل مع حل وحيد.
المعادلة الثانية
ص = -2س – ه
ص = -2س + 3
يمكنك أيضًا الاضطلاع على
طريقة الحل
تتضمن الخطوة الأولى أيضًا تحديد المستقيمان في الرسم البياني،نجد أن المستقيمان متوازيان ولا يتقاطعان، مما يعني عدم وجود نقاط التقاء، وبالتالي، فإن النظام هنا يكون مستحيل الحل، ويُصنف كغير متسق.
بذلك، نكون قد قمنا بتحديد حل كل نظام على حدة،وقد تم تقديم شرح مفصل عن كيفية حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيًا، مع تقديم مثال توضيحي لإثراء المعلومات، ونؤكد على ضرورة ممارسة الطلاب لهذه الدروس الرياضية باستمرار،نأمل أن يكون هذا الشرح قد أفادكم،